פילוסופיה במספרים וצורות

פילוסופיה במספרים וצורות

מה הקשר בין דרך לימוד המתמטיקה למוסר? באיזה אופן התנועה בעולם המספרים מהשלם לחלקים עוזרת לפתח חופש במחשבה ומכוונת את הילדים לראייה שלמה ואחראית של העולם? ומעבר לכל, איך גיליתי שהוראה כזו מעוררת יצירתיות ושמחה הן אצלי והן אצל תלמידיי?

כמורה ומחנך בחינוך ולדורף מזה 25 שנים, ובשל הקשר האישי שלי להוראת המתמטיקה, מצאתי את עצמי במהלך השנים חוזר שוב ושוב לקישור ששטיינר עשה בין אופן הוראת המתמטיקה לבין סגולות אנושיות כגון חופש בחשיבה, יצירתיות ומוסר.

האם אופן הוראת מתמטיקה, בלא קשר להישגי התלמידים, יכול ליצור או לטפח תכונות רצויות אלו? כמו בכל תחום אחר בחינוך ולדורף, כך גם במתמטיקה, המיומנות או הידע מהווים מטרה שנייה בחשיבותה, כשבמקום הראשון ניצבת ההתפתחות הגופנית והנפשית הבריאה של התלמידים, התפתחות הנתמכת על ידי אופן נכון של לימוד.

במאמר זה לא אנסה להוכיח באופן מדעי את הקשר בין הוראה נכונה של המתמטיקה לסגולות אנושיות אלו, משום שגם לו ניתן היה להראות שבוגרי חינוך ולדורף מגלים יותר יצירתיות

ואחריות בחייהם הבוגרים, קשה יהיה להראות את הקשר הישיר בין אלו לבין אופן לימוד המתמטיקה. מה שאנסה לעשות הוא להראות את קווי היסוד, או העקרונות המנחים, עליהם 
הצביע שטיינר בהוראת המתמטיקה, על האופן המיוחד שבו עקרונות אלו מיושמים בלימוד מתמטיקה בבתי ספר ולדורף, ועל האופנים בהם ניתן יהיה להרחיב יישום זה.

תפיסה שונה זו של המתמטיקה הייתה עבורי, במהלך שנות ההוראה, מאתגרת ומלאת חיים; מאתגרת את כל האופן שבו אני חונכתי ופגשתי את המתמטיקה, גם בבית הספר וגם בלימודים האקדמיים, ובה בעת מלאת חיים ודמיון. שוב ושוב ראיתי כיצד ידע מתמטי, שיכולתי לפטור במילים "את זה אני יודע לפתור בקלות", הפך עבורי למציאות מלאת סוד, לתחושת פלא שאני יכול להנחיל לתלמידיי. כמו בבית הספר של פיתגורס, יכולתי גם אני לחוש איך המתמטיקה היא "פילוסופיה במספרים וצורות", פילוסופיה של הקיום, אותה אני יכול לנסות ולחלוק עם תלמידיי.

העולם נברא בצירוף או בהפרדה?

כדי לצאת לדרך, עלינו להתוודע לשני מושגים: פירוק והרכבה – אנליזה וסינתזה. באופן בסיסי, שני מושגים אלו מבטאים את היחס או המהלך שבין שלם לחלקיו. אנליזה מצביעה על תהליך של פירוק, מהשלם ליחידות קטנות יותר, והסינתזה היא תהליך הפוך – תהליך בו מרכיבים מהחלקים שלם שמכיל אותם.

דרך פריזמת הסינתזה והאנליזה נעשית שאלת הביצה והתרנגולת יותר מהותית. האם העולם נברא על ידי סינתזה או על ידי אנליזה? על ידי צירוף או הפרדה?

בנקודה זו נפרדות, במידה רבה, דרכיהן של הגישה הרוחנית והגישה המטריאליסטית. התפיסה המדעית הרווחת כיום לגבי מקור העולם המוכר לנו, היא תיאוריית המפץ הגדול והאבולוציה. נכון אמנם לראות כי גם על פי תיאוריות אלו, תחילת הבריאה היא אנליטית, אבל עיקר תשומת הלב מופנית לתהליך הסינתטי, בו רבבות החלקיקים נקבצים יחדיו, יוצרים ריאקציות כאלו ואחרות, מתחברים לכדי יחידות גדולות ומורכבות יותר, ובמהלך זמנים ארוכים מאוד יוצרים את העולם מלא ההוד שאנו מכירים (ואף אותנו).

מנגד, ניצבת הגישה הרוחנית, אשר מגלה קרבה מפתיעה לתיאוריית המפץ הגדול, ואשר מנסה לתפוס ולתאר, כיצד מתוך האחד, השלמות האלוהית הנצחית, נוצרו זמן, חלל ומצב, נוצר עושר הבריאה. אם ניקח, לדוגמה, את סיפור הבריאה המתואר בספר בראשית, נוכל לראות כיצד מתוך התוהו ובוהו (אותו מתאר שטיינר כפעילותן של ישויות רוחיות), באמצעות תהליך של הפרדה – אנליזה, נוצרים אור וחושך, שמיים וארץ, ים ויבשה, צמחים, חיות, ולבסוף האדם.

הורים לילדים בכיתה א' בחינוך ולדורף פוגשים מהלך זה, מהשלם לחלקים, במחברות של ילדיהם. מדוע מופיע במחברת הביטוי 5+7 = 12 ולא ה"תרגיל" המוכר של 12 = 7+5 ? האם המורה התבלבל, או סתם מנסה להיות מקורי?

שמחת הפירוק

אבל מה בין גישות פילוסופיות אלו לבין לימודי המתמטיקה?

במספר הרצאות בחינוך, כאשר הציג שטיינר את האופן שבו יש ללמד ילדים בכיתה א' את יסודות האריתמטיקה, הוא הדגיש כי בשלב ההצגה של ארבע פעולות החשבון הבסיסיות, יש לנוע מהשלם אל החלקים, ולא מהחלקים לשלם, כפי שנהוג לרוב.

כדי להמחיש מהלך זה למורים, הציג שטיינר דוגמאות כגון זו: הניחו בפני הילדים ערמה של 12 כדורים (או כל חפץ אחר), ואמרו להם: "לזה אני קורא 12." ואז, הפרידו את הערמה לשתי ערמות, האחת של 8 כדורים, והאחרת של 4. אז אמרו לילדים משפט כדוגמת: "שנים עשר הם 8 ו-4." ובשפה המתמטית (בקריאה משמאל לימין): 4+8=12. מייד אחר כך על המורה לחבר שוב את שתי הערמות ולהראות ש-12 יכול להפוך גם לחמש ועוד שבע. בשלב זה יכול המורה להזמין את אחד הילדים ולשאול אותו אם 12 יכול להיות גם משהו נוסף, והילד או הילדה יראו בשמחה ש-12 יכול להיות גם 2+10 או 1+11 וכד'. בהמשך יכול אחד הילדים לשאול אם אפשר לחלק את הערמה המקורית לשלוש ערמות, ולקבל תובנה ש: 2+2+8=12, וילדה אחרת, הנוטה יותר למופשט, תשאל אם נכון שגם 0+12=12 תהיה אפשרות.

הורים לילדים בכיתה א' בחינוך ולדורף פוגשים מהלך זה, מהשלם לחלקים, במחברות של ילדיהם. בדפים הראשונים של תקופת חשבון ראשונה בכיתה א', מופיעים ביטויים "מוזרים", שעל-אף היותם נכונים מבחינה מתמטית, הם גורמים לחלק מההורים להרים גבה. מדוע מופיע במחברת הביטוי 5+7=12, ולא ה"תרגיל" המוכר של 12=7+5 ? האם המורה התבלבל, או סתם מנסה להיות מקורי?

כמי שזכה לעבור מהלך זה עם ילדי כיתה א' פעמיים, עליי לציין את השמחה וההתרגשות שהיו בכיתה בעת שלימדתי באופן הזה, שמחה שחלקנו אני והילדים. אבל עדיין נשאלת השאלה, מה בעצם קורה בנפש הילד, כאשר הוא נע מהשלם לחלקים, ולא קורה כאשר הוא נע מהחלקים לשלם?

אחד ההקשרים המעניינים שעושה שטיינר, הוא בין פעילות האנליזה (מהשלם לחלקים) לבין חופש ויצירתיות: "תמיד קיימת תשוקה אינסטינקטיבית בנפש האדם, לפרק שלמות למרכיביה [...] אילו הנפש האנושית הייתה מוגבלת רק לפעילות סינתטית [של הרכבה], או, אם לומר זאת באופן יותר ברור אילו היחסים שבין אדם לעולם היו מאפשרים לו רק לבצע סינתזה [הרכבה], רק ליצור מושגים קולקטיביים, אם האדם היה מתאמץ תמיד לחבר את מושגיו לקטגוריות, אזי יכול היה האדם בקושי לדבר על חופש. משום שאם כך היה הדבר, הוא היה תחת התכתיבים של הטבע החיצון [...] מצד שני, תחת כל פעילויות הנפש שלנו, מונחת יכולת אנליזה [פירוק], והיא זו המאפשרת לנו לפתח חופש בחיי המחשבה שלנו."[1]

משמעות הדבר היא, אם נחזור שוב למתמטיקה, שכאשר ילד מחבר חמש ועוד שבע ומגיע לתשובה 12, אין לו שום חופש או מקום ליצירתיות הוא נע לחלוטין תחת תכתיבים חיצוניים. חמש ועוד שבע יכולים להיות רק 12.

אבל אם אני מניח לפני הילד 12 כדורים, ושואל אותו למה ה-12 יכול להתחלק, אני מעניק לו חוויה של חופש – של יצירתיות. 12 יכול להיות 6+6, אבל גם 11+1, וגם 3+3+6, וכן הלאה. אפשר אמנם לטעון, ובצדק, כי גם מספר האפשרויות לחלק 12 הוא מוגבל וידוע מראש. זה נכון, אבל ממה שאני זכיתי לראות, חוויית החופש והגילוי הן המשמעותיות עבור הילדים בגיל זה, ותחושה זו לא מתעמעמת גם כשהם מסיימים לגלות את כל האפשרויות הגלומות בחלוקת ה-12.

מה שאבד עדיין קיים

בשלוש פעולות האריתמטיקה שמעבר לפעולת החיבור, ההבנה כיצד לצאת מהשלם נעשית יותר מורכבת. את המהות של פעולת הכפל, שהיא למעשה מקרה מיוחד של פעולת החיבור, מגלים הילדים כאשר ה-12, לדוגמה, מתגלה כ- 3+3+3+3. כאן יכול המורה לומר לילדים: "נכון, 12 הוא שלוש ועוד שלוש ועוד שלוש ועוד שלוש, או במילים אחרות, ה-12 הוא ארבע פעמים שלוש." גם כאן ה-12 הוא המקור, שמתגלה ברגע מסוים, מתוך ההפרדה, כארבע פעמים שלוש, וגם כאן יכול המורה לשלוח את הילדים לחקור האם יש מקרים נוספים בהם ה-12 מתחלק לקבוצות שוות.

במעבר לפעולות החיסור והחילוק, האריתמטיקה – באופן בו שטיינר הנחה ללמד אותה לילדים הצעירים – הופכת לחלוטין לפילוסופיה. את הביטוי המתמטי 4=12-8 צריך להבין כאמירה "הארבע שלפנינו הוא ה-12 שהיו לנו פעם, פחות השמונה שאבדו או הוסתרו בדרך." אם נניח לרגע בצד את המספרים, ונבטא את התובנה הזו באופן מופשט, נוכל לומר שמה שיש לנו בנגלה (4), זו השלמות שממנה יצאנו (12), לאחר שנחסר ממנה כל מה שהלך לאיבוד בדרך (8), אך עדיין קיים.

גם פעולת החילוק הופכת באופן דומה לתובנה פילוסופית המבוטאת במספרים: מה שיש לפנינו (המנה) הוא חלק אחד של השלם (המחולק), אשר התחלק באופן שווה בין מספר גורמים (המחלק). באופן מעשי, מה שמוזמן המורה לעשות, הוא לחלק, למשל, את הערמה של ה-12 לשלוש ערמות, ואז, בהתייחס לאחת מהערמות לומר לילדים: "אתם רואים, הארבע הוא חלק של ה-12 שהיה לנו, ואשר התחלק באופן שווה בין שלוש ערמות," או בשפה המתמטית: 4=12:3.

ייתכן כי בשמיעה ראשונית ייראה ההבדל בין האופן הזה של הצגת האריתמטיקה, לבין האופן הרגיל, חסר משמעות או זניח. אבל עבורי, הפך האופן הזה של הוראת האריתמטיקה את המרחב הלימודי למרחב אחר לגמרי; למקום בו האמיתות הגדולות של הקיום יכולות להיות מבוטאות במשפטים פשוטים ובפעולות חשבון בסיסיות  ועדיין להכיל בתוכן את עוצמתן המלאה.

באילו תחומים נוספים של הוראת המתמטיקה אפשר ונכון ליישם הליכה זו מהשלם לחלקים?

קודם כול, המהלך האמור מוטמע בהוראת השברים, בכיתה ד'. את המהלך מהשלם – האחד, לשברים שמוכלים בתוכו, עושים רוב המורים באופן טבעי. כך, מה שנותר למורה לעשות הוא לשים דגש על הביטוי המתמטי: ״אחד שווה לחצי ועוד חצי״, ולא ״חצי ועוד חצי שווה אחד.״

בדילוג של מספר שנים קדימה, לגיל החטיבה וללימוד האלגברה, פגשתי את נושא המשוואות והנעלמים. באופן הרגיל נלמד תחום זה לחלוטין כתרגול של "הליכה בתלם". את המשוואות מוצא התלמיד על הלוח או בספר הלימוד, ועליו לנוע ממשוואות אלו אל עבר הפתרון הנכון – דרך שיש בה מעט יצירתיות וחופש, אם בכלל. כאן מצאתי כי ניתן לשנות בקלות את הנוהג של "לפתור משוואות" לדרך של יצירת משוואות. במקום לתת לתלמידים משוואה כמו 3x+4=7, שהפתרון שלה הוא אחד ויחיד, אפשר ללכת בדרך ההפוכה: להראות לתלמידים כיצד ניתן לבחור פתרון או נעלם, ולנוע ממנו אל עבר המשוואה. אם אני מתחיל בבחירת נעלם x=5 למשל, יש למעשה אינספור משוואות שאוכל ליצור ל"פתרון" זה. בהתנסויות עם כיתות החטיבה ביצירת משוואות (ולא בפתרונן), זכיתי לראות שוב את אותו ניצוץ של שמחה ויצירה שראיתי בכיתה א'.

כאשר החוויה הבסיסית היא של אחדות, של שלם שממנו נגזרים החלקים, נטמנת ההכרה, שבסופו של דבר אנחנו חולקים תמיד רק את השלם – את הקיים

אריתמטיקה ומוסר

על היחסים שבין אופן הוראת האריתמטיקה לשאלות מוסריות, הצביע שטיינר בדבריו על הקשר שבין קפיטליזם לא מרוסן ללימוד אריתמטיקה מהחלקים לשלם. כאשר הילד מוסיף אחד לאחד ומקבל שתיים, אמר שטיינר, ואז מוסיף עוד אחד ומקבל שלוש, ועוד שלוש הם כבר שש, וכן הלאה, נטמן בלב הילד הזרע לקפיטליזם לא מרוסן. אולם כאשר החוויה הבסיסית היא של אחדות, של שלם שממנו נגזרים החלקים, נטמנת בנפש (באופן לא מודע כמובן) ההכרה, שבסופו של דבר אנחנו חולקים תמיד רק את השלם – את הקיים; הכרה שאם במקום אחד יש יותר, במקום אחר יש פחות. הכרה שיכולה להוביל לאחריות מוסרית אצל המבוגר.

האם אכן נטעתי בתלמידיי יסודות מוסריים עמוקים באמצעות הדרך בה לימדתי מתמטיקה? על כך לא אוכל לענות בנחרצות שבה אמר שטיינר: "כיצד ייתכן הדבר שכל כך הרבה אנשים פיתחו את מה שניתן לכנות נטייה לאטומיזם? הסיבה היא שיכולות האנליזה שלהם טופחו כה מעט בילדותם [...] זהו פשוט הדחף הלא מסופק לאנליזה, שמטפח כה בעוצמה את המטריאליזם כיום."[2]

אבל כן אוכל לומר בביטחון שהמאמץ של המורים בחינוך ולדורף, מאמץ הקיים בכל תחומי הלימוד וההוראה, להניח בתלמידים יסודות איתנים ובריאים לקשר אדם-עולם, נושא פירות ברכה. פירות שכל מי שמכיר ומלווה בוגרי חינוך ולדורף, יוכל להעיד עליהם.

לסיכום דבריי אוכל לומר שבלמדי את המתמטיקה באופן הזה במהלך שנות ההוראה שלי, חשתי כיצד אני הופך ממורה שמלמד הליכה בתלם, של "איך להגיע לפתרון הנכון ולקבל 100 במבחן", למורה לפילוסופיה של החיים, ושבאמצעות המתמטיקה, ובאופן לגמרי לא מודע עבור התלמידים, אני יכול להצביע לעבר אמיתות קיומיות ומוסריות רבות ערך עבורי.

 

 

***

המאמר נכתב בהנחיית גלעד גולדשמידט, במסגרת מכללת דוד ילין.

בתמונה: תעודה לילדי ״גן דקל תמר״ העולים לכיתה א׳. בית חינוך אביב. ציירה: נוגה חסיד

 

 

[1]  The Renewal of Education. lectures delivered in Basel, Switzerland, April 20–May 16, 1920. פרק 10, תרגום חופשי

[2] שם.

תגובות

כתובת הדואר האלקטרוני שלך לא תפורסם. שדות החובה מסומנים *

*

מתעניינים בחינוך אנתרופוסופי?

הירשמו וקבלו חינם גישה ל14 מאמרים נבחרים ממגזין אדם עולם!

העגלה שלך